📐 Графики и основные свойства тангенса и котангенса
1. Построение графика $y = \text{tg}\, x$
Пошаговое построение
Шаг 1: Определяем область определения
Функция $y = \text{tg}\, x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ не определена там, где $\cos x = 0$. Это происходит при:
Таким образом, из области определения исключаются $x = \pm\dfrac{\pi}{2},\; \pm\dfrac{3\pi}{2},\; \pm\dfrac{5\pi}{2}, \ldots$
Шаг 2: Основной период
Функция тангенса имеет основной период $\pi$ (а не $2\pi$, как у синуса и косинуса!):
Шаг 3: Вычисляем ключевые значения на $\left(-\dfrac{\pi}{2};\; \dfrac{\pi}{2}\right)$
| $x$ | $-\dfrac{\pi}{3}$ | $-\dfrac{\pi}{4}$ | $-\dfrac{\pi}{6}$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\text{tg}\, x$ | $-\sqrt{3} \approx -1{,}73$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx -0{,}58$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}58$ | $1$ | $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ |
Шаг 4: Отмечаем точки и соединяем
Отмечаем эти точки на интервале $\left(-\dfrac{\pi}{2};\; \dfrac{\pi}{2}\right)$ и соединяем их плавной кривой. Обратите внимание, что при $x \to \pm\dfrac{\pi}{2}$ значения $\text{tg}\, x \to \pm\infty$.
Шаг 5: Сдвигаем на $\pi$, $2\pi$, $3\pi$...
Поскольку период равен $\pi$, копируем кривую и сдвигаем её влево и вправо на $\pi$, $2\pi$, $3\pi$ и т. д. Каждая копия располагается между двумя соседними вертикальными асимптотами.
Шаг 6: Проводим вертикальные асимптоты
Проводим штриховые вертикальные прямые при каждом $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.