Угол между векторами
Что такое угол между двумя векторами?
Когда два вектора выходят из одной точки, между ними образуется угол. Этот угол, обозначаемый $\theta$, показывает, насколько векторы «сонаправлены» или «противоположны» друг другу.
Для двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ угол между ними — это наименьший угол, образованный при совмещении начал обоих векторов в одной точке. Этот угол всегда удовлетворяет условию $0° \leq \theta \leq 180°$.
Формула скалярного произведения
Основной инструмент для нахождения угла между векторами — это скалярное произведение.
Определение: Скалярное произведение
Для двух векторов $\vec{a} = (a_1, a_2)$ и $\vec{b} = (b_1, b_2)$:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$Определение: Длина вектора
Длина (модуль) вектора $\vec{a} = (a_1, a_2)$ равна:
$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$$⭐ Формула угла
Угол $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле:
$$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$Следовательно:
$$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}\right)$$Особые случаи, которые нужно запомнить
| Условие | Угол $\theta$ | Значение |
|---|---|---|
| $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ | $0° < \theta < 90°$ | Векторы направлены в похожем направлении (острый угол) |
| $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | $\theta = 90°$ | Векторы перпендикулярны (ортогональны) |
| $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ | $90° < \theta < 180°$ | Векторы направлены в противоположных направлениях (тупой угол) |
| $\cos\theta = 1$ | $\theta = 0°$ | Векторы параллельны (одинаковое направление) |
| $\cos\theta = -1$ | $\theta = 180°$ | Векторы антипараллельны (противоположное направление) |