Гомотетия (Преобразование подобия с центром)
Главная идея: Гомотетия — это преобразование, которое увеличивает или уменьшает фигуру относительно фиксированной точки, сохраняя её форму, но изменяя размер. Это одно из самых элегантных преобразований в геометрии!
Формальное определение
Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ (где $k \neq 0$) — это преобразование, которое каждой точке $P$ ставит в соответствие точку $P'$ такую, что:
$$\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$$
В координатной форме, если центр — это $O(a, b)$, а точка — $P(x, y)$, то образ точки:
$$P'\big(a + k(x - a),\; b + k(y - b)\big)$$
Основные параметры
- Центр $O$: Неподвижная точка, относительно которой происходит масштабирование
- Коэффициент $k$: Масштабный множитель
- $|k| > 1$: Увеличение
- $0 < |k| < 1$: Уменьшение
- $k < 0$: Образ находится по другую сторону от $O$
- $k = 1$: Тождественное преобразование (без изменений)