Свойства чётных и нечётных функций
Краткое повторение: определения
Функция $f(x)$ называется чётной, если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из её области определения. (Симметрична относительно оси $y$)
Функция $f(x)$ называется нечётной, если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из её области определения. (Симметрична относительно начала координат)
Наглядное сравнение: чётные и нечётные функции
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Типичные примеры чётных и нечётных функций
Чётные функции
- $y = b$ (любая постоянная функция)
- $y = x^2$, $y = x^4$, $y = x^{2n}$ (чётные степени)
- $y = |x|$ (модуль)
- $y = \cos(x)$
Ключевая идея: $f(-x) = f(x)$ — значение функции не меняется при замене аргумента на противоположный.
Нечётные функции
- $y = kx$ (прямая пропорциональность / линейная функция через начало координат)
- $y = k/x$ (обратная пропорциональность)
- $y = x^3$, $y = x^5$, $y = x^{2n-1}$ (нечётные степени)
- $y = \text{sgn}(x)$ (функция знака)
- $y = \sin(x)$
Ключевая идея: $f(-x) = -f(x)$ — замена аргумента на противоположный меняет знак значения функции.