Умножение вероятностей
🎯 Главная идея
Когда мы хотим найти вероятность того, что два или более события произойдут одновременно, мы умножаем их вероятности. Но как именно мы умножаем, зависит от того, влияют ли события друг на друга или нет.
Независимые события
Определение: Два события $A$ и $B$ являются независимыми, если наступление одного не влияет на вероятность другого.
Правило умножения для независимых событий
$$P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$$
Примеры независимых событий:
- Подбрасывание монеты И бросание кубика
- Вытягивание карты, возвращение её в колоду, затем повторное вытягивание
- Оценки за контрольную у двух разных учеников
Ключевая фраза: «с возвращением» обычно указывает на независимость.
Зависимые события
Определение: Два события $A$ и $B$ являются зависимыми, если наступление одного изменяет вероятность другого.
Общее правило умножения
$$P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B | A)$$
Здесь $P(B|A)$ читается как «вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло» — это называется условная вероятность.
Примеры зависимых событий:
- Вытягивание карт без возвращения
- Выбор двух учеников из класса в команду
- Извлечение шариков из мешка без возвращения обратно