Площадь кругового сектора
Что такое круговой сектор?
Сектор круга — это область, заключённая между двумя радиусами и соединяющей их дугой. Представь его как «кусок пиццы» — острый конец находится в центре круга, а изогнутый край является частью окружности.
Вывод формулы
Ключевая идея заключается в том, что сектор — это часть целого круга. Эта часть определяется тем, какую долю полного оборота ($360°$ или $2\pi$ радиан) составляет центральный угол $\theta$.
Шаг 1: Площадь полного круга
$$A_{\text{круга}} = \pi r^2$$
Шаг 2: Какую часть круга составляет сектор?
Если центральный угол равен $\theta$ (в градусах), то доля круга составляет:
$$\text{Доля} = \frac{\theta}{360°}$$
Шаг 3: Умножаем, чтобы получить площадь сектора
Формула (в градусах):
$$A_{\text{сектора}} = \frac{\theta}{360°} \times \pi r^2$$
Формула (в радианах):
$$A_{\text{сектора}} = \frac{1}{2} r^2 \theta$$
где $\theta$ выражен в радианах
Почему формула в радианах работает?
Поскольку полный круг составляет $2\pi$ радиан, доля равна $\frac{\theta}{2\pi}$. Значит:
$$A = \frac{\theta}{2\pi} \times \pi r^2 = \frac{1}{2}r^2\theta$$