Ограниченные и неограниченные функции
Главная идея: Когда мы изучаем функции, один из самых важных вопросов, который мы можем задать: «Остаются ли значения этой функции в определённых пределах или растут без ограничений?» Это понятие называется ограниченностью.
1. Ограниченная снизу
Определение: Функция $f$ называется ограниченной снизу, если существует число $a$ такое, что для каждого $x$ из области определения $D(f)$:
$$ f(x) \geq a $$
Что это означает геометрически?
- График функции $f$ расположен целиком выше (или на) горизонтальной прямой $y = a$.
- Число $a$ называется нижней границей функции.
- Функция никогда не опускается ниже этого «пола».
Пример: $g(x) = \sqrt{x} - 1$ на $[0, +\infty)$
При $x = 0$: $g(0) = \sqrt{0} - 1 = -1$
С увеличением $x$ функция $g(x)$ возрастает без ограничений.
Наименьшее значение равно $-1$, поэтому $g(x) \geq -1$ для всех $x \in [0, +\infty)$.
Эта функция ограничена снизу с нижней границей $a = -1$.
При $x = 0$: $g(0) = \sqrt{0} - 1 = -1$
С увеличением $x$ функция $g(x)$ возрастает без ограничений.
Наименьшее значение равно $-1$, поэтому $g(x) \geq -1$ для всех $x \in [0, +\infty)$.
Эта функция ограничена снизу с нижней границей $a = -1$.
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке