Нелинейные неравенства с двумя переменными
Главная идея: Подобно тому, как линейные неравенства делят координатную плоскость на две полуплоскости, нелинейные неравенства с двумя переменными делят плоскость на области, ограниченные кривыми — параболами, окружностями, эллипсами, гиперболами и другими кривыми высших степеней.
1. Что такое нелинейное неравенство с двумя переменными?
Нелинейное неравенство с двумя переменными — это неравенство, в котором хотя бы одна переменная имеет степень выше 1 или переменные перемножаются друг с другом. Общая идея такова:
$$f(x, y) \;<\; 0, \quad f(x, y) \;\leq\; 0, \quad f(x, y) \;>\; 0, \quad f(x, y) \;\geq\; 0$$
где $f(x,y)$ — многочлен степени 2 или выше относительно $x$ и/или $y$.
Типичные примеры:
| Неравенство | Граничная кривая | Тип |
|---|---|---|
| $y < x^2$ | Парабола $y = x^2$ | Квадратичное |
| $x^2 + y^2 \leq 25$ | Окружность $x^2 + y^2 = 25$ | Квадратичное (окружность) |
| $y \geq x^3 - 4x$ | Кубическая кривая $y = x^3 - 4x$ | Кубическое |
| $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} < 1$ | Эллипс | Квадратичное (эллипс) |
| $y > x^2 + 2x - 3$ | Парабола | Квадратичное |