Высказывания, предикаты и кванторы
Главная идея: В математике нам нужен точный язык для выражения истин. Высказывания, предикаты и кванторы — это строительные блоки математической логики, своего рода грамматика самой математики.
1. Высказывания (Утверждения)
Высказывание (или утверждение) — это повествовательное предложение, которое является либо ИСТИННЫМ, либо ЛОЖНЫМ, но не тем и другим одновременно.
| Предложение | Высказывание? | Истинностное значение |
|---|---|---|
| $5 + 3 = 8$ | ✅ Да | ИСТИНА |
| $7 > 10$ | ✅ Да | ЛОЖЬ |
| «Который час?» | ❌ Нет | — |
| «Закрой дверь!» | ❌ Нет | — |
| $x + 2 = 5$ | ❌ Пока нет* | Зависит от $x$ |
*Это открытое предложение — оно становится высказыванием только тогда, когда мы подставим значение вместо $x$.
2. Предикаты (Открытые предложения)
Предикат — это предложение, содержащее одну или несколько переменных, которое становится высказыванием при подстановке конкретных значений вместо этих переменных.
Предикат записывается как $P(x)$, $Q(x, y)$ и т. д.
Пример:
Пусть $P(x): x + 3 = 7$
• $P(4): 4 + 3 = 7$ → ИСТИНА
• $P(1): 1 + 3 = 7$ → ЛОЖЬ
• $P(0): 0 + 3 = 7$ → ЛОЖЬ
Пусть $P(x): x + 3 = 7$
• $P(4): 4 + 3 = 7$ → ИСТИНА
• $P(1): 1 + 3 = 7$ → ЛОЖЬ
• $P(0): 0 + 3 = 7$ → ЛОЖЬ
Множество истинности предиката $P(x)$ — это множество всех значений, при которых $P(x)$ истинно:
$$\{x \in U : P(x) \text{ is true}\}$$
где $U$ — универсальное множество (область определения).