Геометрическая прогрессия: Полное руководство
1. Определение геометрической прогрессии
Определение: Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное число. Эта постоянная называется знаменателем прогрессии $q$, причём $q \neq 0$.
Математически, для каждого $n \geq 2$:
$$\frac{b_n}{b_{n-1}} = q, \quad \text{или, что равносильно,} \quad b_n = b_{n-1} \cdot q$$
Примеры геометрических прогрессий:
| Последовательность | $b_1$ | $q$ |
|---|---|---|
| $2, 6, 18, 54, 162, \ldots$ | $2$ | $3$ |
| $100, 50, 25, 12{,}5, \ldots$ | $100$ | $0{,}5$ |
| $3, -6, 12, -24, 48, \ldots$ | $3$ | $-2$ |
| $1, 1, 1, 1, 1, \ldots$ | $1$ | $1$ |
2. Виды геометрических прогрессий в зависимости от $q$
Когда $q > 0$
Все члены имеют тот же знак, что и $b_1$.
- Если $b_1 > 0$ и $q > 1$: последовательность возрастающая
Пример: $2, 6, 18, 54, \ldots$ ($q = 3$) - Если $b_1 > 0$ и $0 < q < 1$: последовательность убывающая
Пример: $100, 50, 25, \ldots$ ($q = 0{,}5$) - Если $q = 1$: последовательность постоянная
Пример: $5, 5, 5, 5, \ldots$
Когда $q < 0$
Члены чередуются по знаку (положительный, отрицательный, положительный, …).
- Пример: $3, -6, 12, -24, \ldots$ ($q = -2$)
- Пример: $-1, 2, -4, 8, \ldots$ ($q = -2$)
Такие последовательности не являются ни возрастающими, ни убывающими — они колеблются (знакочередующиеся).
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке