Правильные многоугольники
Определение
Правильный многоугольник — это многоугольник, который является одновременно равносторонним (все стороны равны по длине) и равноугольным (все внутренние углы равны по величине).
Примеры: равносторонний треугольник (3 стороны), квадрат (4 стороны), правильный пятиугольник (5 сторон), правильный шестиугольник (6 сторон) и так далее.
Основные формулы для правильного $n$-угольника
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Сумма внутренних углов | $S = (n - 2) \times 180°$ |
| Каждый внутренний угол | $\theta = \dfrac{(n-2) \times 180°}{n}$ |
| Каждый внешний угол | $\phi = \dfrac{360°}{n}$ |
| Количество диагоналей | $d = \dfrac{n(n-3)}{2}$ |
| Площадь (сторона $s$) | $A = \dfrac{n s^2}{4} \cot\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)$ |
| Периметр | $P = n \times s$ |
Важные соотношения
Внутренний + Внешний = 180°
В каждой вершине внутренний и внешний углы являются смежными: $\theta + \phi = 180°$
В каждой вершине внутренний и внешний углы являются смежными: $\theta + \phi = 180°$
Сумма внешних углов = 360°
Для любого выпуклого многоугольника сумма всех внешних углов (по одному в каждой вершине) всегда равна $360°$.
Для любого выпуклого многоугольника сумма всех внешних углов (по одному в каждой вершине) всегда равна $360°$.
Апофема: Расстояние от центра до середины стороны. Для стороны длиной $s$:
$$a = \frac{s}{2} \cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
Площадь также можно записать как: $A = \frac{1}{2} \times P \times a$
$$a = \frac{s}{2} \cot\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
Площадь также можно записать как: $A = \frac{1}{2} \times P \times a$