Решение полиномиальных неравенств
📘 Основные определения
- Полиномиальное неравенство
- Неравенство, обе части которого являются многочленами. После упрощения оно принимает вид $P(x) > 0$, $P(x) < 0$, $P(x) \geq 0$ или $P(x) \leq 0$.
- Степень неравенства
- Степень многочлена $P(x)$, полученного после переноса всех членов в одну сторону и приведения к стандартному виду.
- Множество решений
- Множество всех действительных чисел $x$, при которых неравенство истинно. Обычно записывается в виде объединения промежутков.
1️⃣ Неравенства первой степени (линейные)
Линейное полиномиальное неравенство имеет вид:
$$ax + b > 0 \quad \text{(или } <, \geq, \leq \text{)}$$
Решение зависит от знака старшего коэффициента $a$:
Если $a > 0$:
$$ax + b > 0 \implies x > -\frac{b}{a}$$
$$ax + b < 0 \implies x < -\frac{b}{a}$$
Если $a < 0$:
$$ax + b > 0 \implies x < -\frac{b}{a}$$
$$ax + b < 0 \implies x > -\frac{b}{a}$$
⚠️ Знак неравенства меняется на противоположный при делении на отрицательное число!