Числовые последовательности: Способы задания последовательностей
1. Что такое числовая последовательность?
Определение: Числовая последовательность — это упорядоченный набор чисел, подчиняющийся определённому правилу или закономерности.
Представьте последовательность как числа, выстроенные в определённом порядке, где каждое число имеет свою позицию:
$$ a_1, \; a_2, \; a_3, \; \ldots, \; a_n, \; \ldots $$
Основные термины
| Термин | Значение | Пример |
|---|---|---|
| Член последовательности | Каждое отдельное число в последовательности | В $2, 5, 8, 11, \ldots$ первый член равен $2$ |
| Индекс (номер) | Порядковый номер $n$ члена последовательности | $a_3$ означает член на позиции $3$ |
| Общий член ($a_n$) | Формула, задающая любой член на позиции $n$ | $a_n = 3n - 1$ даёт $a_1=2, a_2=5, a_3=8$ |
Бесконечная последовательность
Продолжается бесконечно — не имеет последнего члена.
$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$
Пример: $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$
Конечная последовательность
Имеет фиксированное число членов — заканчивается на некотором $a_n$.
$a_1, a_2, \ldots, a_n$
Пример: $2, 4, 6, 8, 10$ (5 членов)
Последовательность как функция: Бесконечную последовательность можно рассматривать как функцию $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, где $f(n) = a_n$. Каждому натуральному числу $n$ соответствует ровно одно действительное число $a_n$.
2. Три способа задания последовательности
Способ 1: Явная формула (формула n-го члена)
Явная формула позволяет вычислить любой член непосредственно по его номеру $n$, без необходимости знать предыдущие члены.
Пример: $a_n = 2^n + (-1)^n \cdot n$
- $a_1 = 2^1 + (-1)^1 \cdot 1 = 2 - 1 = \mathbf{1}$