Преобразование тригонометрических выражений
Главная идея: Преобразование тригонометрических выражений означает их запись в эквивалентной, но более простой или более удобной форме с помощью тригонометрических тождеств. Это похоже на разложение на множители в алгебре — выражение выглядит по-другому, но имеет то же значение.
🔑 Набор основных тождеств
Прежде чем преобразовывать выражения, нам нужен набор основных тождеств. Считайте их «правилами игры».
1. Тождества Пифагора
Они следуют непосредственно из единичной окружности и теоремы Пифагора:
$$ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $$
$$ \tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta $$
$$ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $$
Подсказка: Первое тождество — «основное» — два других получаются из него делением на $\cos^2\theta$ или $\sin^2\theta$.
2. Обратные и дробные тождества
Обратные:
$ \csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta} $, $ \sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} $
Дробные:
$ \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} $
$ \cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} $