Координаты вектора
Что такое вектор?
Вектор — это математический объект, который имеет как величину (длину), так и направление. В отличие от обычного числа (скаляра), вектор говорит нам как далеко и в каком направлении.
Визуально мы изображаем векторы в виде стрелок — длина стрелки показывает величину, а направление стрелки показывает, куда она указывает.
Формальное определение: координаты вектора
Если мы записываем $\vec{a} = (a_x, a_y)$, то:
- $a_x$ — это координата по оси x (горизонтальное смещение)
- $a_y$ — это координата по оси y (вертикальное смещение)
Координаты говорят нам: переместитесь на $a_x$ единиц по горизонтали и на $a_y$ единиц по вертикали, чтобы попасть из начала в конец вектора.
Основные свойства
Модуль (длина)
Модуль вектора $\vec{a} = (a_x, a_y)$ равен:
$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$
Равные векторы
Два вектора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты равны:
$\vec{a} = \vec{b} \iff a_x = b_x$ и $a_y = b_y$
Нулевой вектор
$\vec{0} = (0, 0)$ — не имеет направления и имеет нулевую длину.
Противоположный вектор
Если $\vec{a} = (a_x, a_y)$, то $-\vec{a} = (-a_x, -a_y)$
Операции с координатами векторов
| Операция | Формула | Пример |
|---|---|---|
| Сложение | $\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x,\; a_y + b_y)$ | $(3, 2) + (1, 4) = (4, 6)$ |
| Вычитание | $\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x,\; a_y - b_y)$ | $(3, 2) - (1, 4) = (2, -2)$ |
| Умножение на скаляр | $k\vec{a} = (k \cdot a_x,\; k \cdot a_y)$ | $3 \cdot (2, -1) = (6, -3)$ |