Основное тригонометрическое тождество и формулы приведения
1. Единичная окружность — основа
Начнём с единичной окружности — окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Любая точка на этой окружности может быть записана как:
$P = (\cos\alpha,\; \sin\alpha)$
Поскольку точка $P(x, y)$ лежит на окружности $x^2 + y^2 = 1$, мы можем подставить $x = \cos\alpha$ и $y = \sin\alpha$ и получить самое важное тождество во всей тригонометрии.
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
Перетащите ползунок, чтобы изменить угол $\alpha$. Обратите внимание: какой бы угол вы ни выбрали, $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$ всегда равно 1!
2. Основное тригонометрическое тождество
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$
Это тождество выполняется для любого угла $\alpha$. Его иногда называют тождеством Пифагора, потому что оно напрямую следует из теоремы Пифагора, применённой к единичной окружности.
Доказательство:
Рассмотрим точку $P$ на единичной окружности, образующую угол $\alpha$ с положительным направлением оси $x$.
- Координаты точки $P$ равны $(\cos\alpha,\; \sin\alpha)$.
- Расстояние от начала координат до $P$ равно радиусу $r = 1$.
- По формуле расстояния: $\sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = 1$
- Возведём обе части в квадрат: $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$ $\blacksquare$
Полезные следствия:
Выражаем $\sin^2\alpha$:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$Выражаем $\cos^2\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$Производные тождества (деление обеих частей):
Делим на $\cos^2\alpha$:
$\tan^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$Делим на $\sin^2\alpha$:
$1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$