Скалярное произведение векторов
Что такое скалярное произведение?
Скалярное произведение (также называемое точечным произведением) — это операция, которая принимает два вектора и возвращает одно число (скаляр). Оно показывает, насколько два вектора «совпадают» по направлению.
В отличие от сложения векторов, которое даёт другой вектор, скалярное произведение даёт просто число — и это число несёт глубокий геометрический смысл!
📐 Формальное определение
Алгебраическое определение
Даны два вектора на плоскости (2D):
$\vec{a} = \langle a_1, a_2 \rangle$ и $\vec{b} = \langle b_1, b_2 \rangle$
Скалярное произведение определяется как:
Вы умножаете соответствующие компоненты и затем складываете результаты.
Геометрическое определение
Скалярное произведение также можно выразить через угол между двумя векторами:
где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это модули (длины) векторов, а $\theta$ — угол между ними.
🔑 Основные свойства
| Свойство | Формула | Значение |
|---|---|---|
| Коммутативность | $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ | Порядок не имеет значения |
| Дистрибутивность | $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ | Работает относительно сложения |
| Умнож. на скаляр | $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$ | Скаляры выносятся за скобки |
| Скалярное произведение на себя | $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ | Даёт квадрат модуля |
🧭 Что говорит нам знак?
Положительное: $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$
Угол $\theta < 90°$
Векторы направлены в похожих направлениях