Отображение плоскости на себя
Что такое отображение?
Отображение (или преобразование) плоскости на себя — это правило, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие ровно одну точку-образ, также лежащую в той же плоскости. Записывается это так:
$f: P \rightarrow P'$
Это означает, что отображение $f$ берёт точку $P$ и переводит её в образ $P'$. Исходная точка $P$ называется прообразом, а полученная точка $P'$ называется образом.
Формальное определение
Отображение плоскости на себя — это функция:
$$f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$$
такая, что для каждой точки $(x, y)$ плоскости существует единственная точка-образ $(x', y')$, также принадлежащая плоскости, где:
$$f(x, y) = (x', y')$$
Основные свойства:
- Область определения: Вся плоскость $\mathbb{R}^2$
- Область значений: Та же плоскость $\mathbb{R}^2$
- «На» (сюръективность): Каждая точка плоскости является образом некоторой точки
- Однозначность: Каждая точка имеет ровно один образ
Виды отображений плоскости
| Преобразование | Что делает | Формула |
|---|---|---|
| Параллельный перенос | Сдвигает каждую точку | $(x+a,\; y+b)$ |
| Поворот | Вращает вокруг центра | $(x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta)$ |
| Отражение (симметрия) | Отражает относительно прямой | $(x,\; -y)$ отн. оси $x$ |
| Гомотетия | Масштабирует от центра | $(kx,\; ky)$ |
| Тождественное | Переводит каждую точку в себя | $(x,\; y)$ |