Теоремы о периметрах и площадях подобных многоугольников
📐 Что такое подобные многоугольники?
Два многоугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Отношение соответствующих сторон называется коэффициентом подобия (часто обозначается как $k$).
Если многоугольник $ABCD \sim$ многоугольнику $EFGH$ с коэффициентом подобия $k = \dfrac{AB}{EF}$, то каждая пара соответствующих сторон имеет одинаковое отношение.
📏 Теорема 1: Периметры подобных многоугольников
$$\frac{P_1}{P_2} = k$$
Схема доказательства:
Пусть два подобных многоугольника имеют соответствующие стороны:
$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = \cdots = k$$
Тогда $a_1 = k \cdot a_2$, $b_1 = k \cdot b_2$, $c_1 = k \cdot c_2$ и т.д.
$$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 + \cdots = k \cdot a_2 + k \cdot b_2 + k \cdot c_2 + \cdots$$
$$P_1 = k(a_2 + b_2 + c_2 + \cdots) = k \cdot P_2$$
Следовательно: $\dfrac{P_1}{P_2} = k$ ✅