Подобие произвольных фигур
Формальное определение
Определение: Две фигуры называются подобными, если одну можно получить из другой с помощью последовательности преобразований подобия:
- Параллельный перенос (сдвиг)
- Поворот (вращение)
- Отражение (зеркальное отображение)
- Гомотетия (увеличение или уменьшение масштаба)
Мы записываем $F_1 \sim F_2$ и говорим: «Фигура 1 подобна фигуре 2».
Коэффициент подобия
Когда две фигуры подобны, каждая длина в одной фигуре умножается на одну и ту же постоянную $k$, называемую коэффициентом подобия.
| Свойство | Соотношение |
|---|---|
| Соответствующие длины | $\dfrac{l_2}{l_1} = k$ |
| Соответствующие периметры | $\dfrac{P_2}{P_1} = k$ |
| Соответствующие площади | $\dfrac{A_2}{A_1} = k^2$ |
| Соответствующие углы | Все соответствующие углы равны |
Почему площадь изменяется в $k^2$ раз?
Подумайте об этом так: площадь измеряется в квадратных единицах. Когда вы увеличиваете каждое измерение в $k$ раз, площадь увеличивается в $k \times k = k^2$ раз. Например, если удвоить каждую длину ($k = 2$), площадь станет в $2^2 = 4$ раза больше.
Подобие за пределами треугольников
Для треугольников у нас есть удобные признаки подобия (по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам). Для произвольных фигур необходимо использовать полное определение:
- Все соответствующие углы должны быть равны.