Бөлүктөп интегралдоо
Бөлүктөп интегралдоо — бул функциялардын көбөйтүндүлөрүнүн интегралдарын эсептөө үчүн математикалык анализдеги эң күчтүү ыкмалардын бири. Ал негизинен дифференциалдоонун Көбөйтүндү эрежесин "тескери" аткарат.
🔑 Келип чыгышы: Көбөйтүндү эрежесинен
Дифференциалдоонун Көбөйтүндү эрежесин эстейли:
$$ \frac{d}{dx}[u \cdot v] = u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx} $$
Эми эки тарапты тең $x$ боюнча интегралдайлы:
$$ u \cdot v = \int u \, dv + \int v \, du $$
Кайра иреттесек, Бөлүктөп интегралдоо формуласын алабыз:
$$ \boxed{\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du} $$
Бул формула татаал интегралды $\int u \, dv$ жөнөкөйрөөк (деп үмүттөнөбүз) интегралга $\int v \, du$ айландырат.
📋 LIATE эрежеси
Эң кыйын жери — кайсынысын $u$, кайсынысын $dv$ деп тандоо. LIATE мнемоникасы $u$ тандоого жардам берет:
| Тамга | Функция түрү | Мисал |
|---|---|---|
| L | Логарифмдик | $\ln x, \log x$ |
| I | Тескери тригонометриялык | $\arctan x, \arcsin x$ |
| A | Алгебралык | $x^2, 3x, x^n$ |
| T | Тригонометриялык | $\sin x, \cos x$ |
| E | Экспоненциалдык | $e^x, 2^x$ |
Эреже: LIATE тизмесинде эң алды турган функцияны $u$ деп тандаңыз. Калган бөлүгү $dv$ болот.
⚙️ Кадам-кадам процесс
- Интегралды эки башка түрдөгү функциялардын көбөйтүндүсү катары аныктаңыз.
- LIATE колдонуп $u$ тандаңыз — дифференциалдаганда жөнөкөйлөнгөн функцияны тандаңыз.
- Калган бардыгын ($dx$ менен кошо) $dv$ деп белгилеңиз.
- $u$ ны дифференциалдап $du$ ны эсептеңиз.
- $dv$ ны интегралдап $v$ ны эсептеңиз.
- Формулага алмаштырыңыз: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
- Калган интегралды $\int v\,du$ эсептеңиз.