Дифференциалдык теңдемелерге алып келүүчү маселелер
Негизги идея:
Көптөгөн реалдуу кубулуштар — популяциянын өсүшү, кофенин муздашы, радиоактивдүү ажыроо, түшүүчү нерселер — белгисиз функцияны жана анын туундуларын камтыган теңдемелер менен моделдештирилет. Булар дифференциалдык теңдемелер деп аталат. Бул сабакта биз реалдуу маселелерди дифференциалдык теңдемелерге которууну үйрөнөбүз.
1. Дифференциалдык теңдеме деген эмне?
Аныктама: Дифференциалдык теңдеме (ДТ) — белгисиз функциянын бир же бир нече туундуларын камтыган теңдеме.
Эгерде белгисиз функция $y(x)$ же $y(t)$ болсо, анда дифференциалдык теңдеме $y$, анын туундулары $\frac{dy}{dx}$, $\frac{d^2y}{dx^2}$ ж.б., жана мүмкүн көз карандысыз өзгөрмө $x$ (же $t$) менен байланыштырат.
Дифференциалдык теңдемелердин мисалдары:
- $\frac{dy}{dx} = 3y$ (биринчи тартиптеги)
- $\frac{dy}{dt} = -ky$ (экспоненциалдык ажыроо)
- $\frac{d^2y}{dx^2} + 9y = 0$ (экинчи тартиптеги, гармоникалык кыймыл)
- $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ (Ньютондун муздоо закону)
ДТнын тартиби — бул теңдемеде кездешкен эң жогорку туунду. Бул сабактагы маселелердин көбү биринчи тартиптеги ДТга алып келет.