Көптүктөр теориясына жана Венн диаграммаларына киришүү
Көптүктөр теориясы — бул объекттердин жыйнактарын математикалык изилдөө. Ал заманбап математиканын негизин түзөт жана ыктымалдыкты, логиканы жана абстракттуу алгебраны түшүнүү үчүн зарыл.
1. Негизги аныктамалар
Көптүк деген эмне?
Көптүк — бул так аныкталган ар түрдүү объекттердин жыйнагы, алар элементтер же мүчөлөр деп аталат. Көптүктөр адатта баш тамгалар менен белгиленет ($A$, $B$, $C$, ...) жана алардын элементтери тармал кашааларга алынат.
Белгилөө
- $x \in A$ — "$x$ $A$ көптүгүнүн элементи" дегенди билдирет
- $x \notin A$ — "$x$ $A$ көптүгүнүн элементи эмес" дегенди билдирет
- $|A|$ же $n(A)$ — $A$ көптүгүнүн кардиналдуулугун (элементтеринин санын) билдирет
- $\emptyset$ же $\{\}$ — бош көптүктү билдирет
- $U$ же $\xi$ — универсалдуу көптүктү билдирет
Көптүктү аныктоо жолдору
$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$
$B = \{x \mid x \text{ is an even positive integer}, x \leq 10\}$
Окулушу: "$x$ 10дон кичине же барабар жуп оң бүтүн сан болгон бардык $x$тердин көптүгү"
$B$ = 10го чейинки жуп оң бүтүн сандардын көптүгү
Атайын көптүктөр
- $\mathbb{N}$ = Натуралдык сандар $\{1, 2, 3, ...\}$
- $\mathbb{Z}$ = Бүтүн сандар $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$
- $\mathbb{Q}$ = Рационалдык сандар
- $\mathbb{R}$ = Реалдуу сандар
2. Чакан көптүктөр жана көптүктөр ортосундагы байланыштар
Чакан көптүк ($\subseteq$)
$A$ көптүгү $B$ көптүгүнүн чакан көптүгү болот, эгерде $A$нын ар бир элементи $B$нын да элементи болсо:
$$A \subseteq B \iff (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B)$$
Чыныгы чакан көптүк ($\subset$)
$A$ $B$нын чыныгы чакан көптүгү болот, эгерде $A \subseteq B$ жана $A \neq B$ болсо.
- Ар бир $A$ көптүгү үчүн $\emptyset \subseteq A$
- Ар бир $A$ көптүгү үчүн $A \subseteq A$
- Эгерде $|A| = n$ болсо, анда $A$нын $2^n$ чакан көптүгү бар
Барабар көптүктөр
Эки көптүк барабар болот, эгерде жана эгерде гана алар так ошол эле элементтерди камтыса:
$$A = B \iff A \subseteq B \text{ and } B \subseteq A$$
$A = \{1, 2, 3\}$ жана $B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ болсун
Анда $A \subset B$ (чыныгы чакан көптүк)
$n(A) = 3$, демек $A$нын $2^3 = 8$ чакан көптүгү бар:
$\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}$