График и свойства квадратичных функций
Главная идея: Квадратичная функция создаёт U-образную кривую, называемую параболой. Понимание её свойств позволяет моделировать реальные явления, такие как движение тела, брошенного под углом, оптимизация прибыли и архитектурное проектирование.
📐 Определение
Квадратичная функция — это любая функция, которую можно записать в виде:
$f(x) = ax^2 + bx + c$
где $a$, $b$ и $c$ — действительные числа, и $a \neq 0$.
Это называется стандартной формой квадратичной функции.
🔑 Три формы квадратичной функции
| Форма | Уравнение | Что показывает |
|---|---|---|
| Стандартная | $f(x) = ax^2 + bx + c$ | Точка пересечения с осью $y$: $(0, c)$ |
| Каноническая | $f(x) = a(x - h)^2 + k$ | Вершина $(h, k)$ |
| Разложенная | $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$ | Точки пересечения с осью $x$: $r_1, r_2$ |
Основные свойства параболы
1. Направление ветвей
- Если $a > 0$: парабола направлена вверх (улыбка 😊) — имеет минимум
- Если $a < 0$: парабола направлена вниз (грусть 😞) — имеет максимум
- Чем больше $|a|$, тем у́же парабола
- Чем меньше $|a|$, тем шире парабола
2. Вершина
Вершина — это наивысшая или наинизшая точка параболы.
Из стандартной формы вершина находится в точке:
$$\left(-\frac{b}{2a},\; f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$$
Из канонической формы $a(x-h)^2 + k$ вершина — это просто $(h, k)$.
3. Ось симметрии
Каждая парабола имеет вертикальную ось симметрии, проходящую через вершину:
$$x = -\frac{b}{2a} = h$$
Точки параболы являются зеркальными отражениями относительно этой прямой.
4. Точки пересечения с осями
Пересечение с осью $y$: Подставим $x = 0$ → точка $(0, c)$