Уравнения с двумя переменными и их графики
1. Основные понятия
Определение: Уравнение с двумя переменными — это уравнение, содержащее два неизвестных, обычно $x$ и $y$, например $x(x - y) = 4$ или $2x + 3y = 6$.
Решение уравнения
Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара $(x, y)$, которая при подстановке обращает уравнение в верное равенство.
Пример: Пара $(-1, 3)$ является решением уравнения $x(x - y) = 4$, так как:
$$(-1)((-1) - 3) = (-1)(-4) = 4 \checkmark$$
Основные свойства
- Уравнения с двумя переменными, как правило, имеют бесконечно много решений.
- Равносильные уравнения — это уравнения, имеющие одинаковое множество решений. Например, $2x + 4y = 6$ и $x + 2y = 3$ равносильны.
- Степень уравнения: степень многочлена, полученного после переноса всех членов в одну сторону. Например, уравнение $x^2 + y^2 = 9$ имеет степень 2.
2. График уравнения
Определение: Графиком уравнения $F(x, y) = 0$ называется множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, удовлетворяющих данному уравнению.
Линейные уравнения
Линейное уравнение имеет вид $ax + by + c = 0$. Его графиком является прямая линия (при условии, что $a \neq 0$ или $b \neq 0$).
| Условие для $ax + by = c$ | График |
|---|---|
| $a \neq 0$ или $b \neq 0$ | Прямая линия |
| $a = 0$, $b = 0$, $c = 0$ | Вся плоскость (каждая точка является решением) |
| $a = 0$, $b = 0$, $c \neq 0$ | Пустое множество (решений нет) |
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
График линейного уравнения $2x + 3y = 6$ с несколькими выделенными точками-решениями.