Системы неравенств с двумя переменными
Что такое система неравенств?
Система неравенств — это набор двух или более неравенств с одними и теми же переменными, рассматриваемых одновременно. Решением системы является множество всех упорядоченных пар $(x, y)$, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно.
Формальное определение: Система линейных неравенств с двумя переменными — это набор неравенств вида:
$$ \begin{cases} a_1x + b_1y \leq c_1 \\ a_2x + b_2y \leq c_2 \end{cases} $$
где знаки неравенства могут быть $\leq$, $\geq$, $<$ или $>$. Множество решений — это пересечение (общая часть) всех отдельных областей решений.
Ключевые понятия, которые нужно запомнить
1. Граничные прямые
- Каждое неравенство имеет граничную прямую — уравнение, которое получается при замене знака неравенства на $=$.
- Если неравенство содержит $\leq$ или $\geq$, проводится сплошная линия (точки на прямой ВКЛЮЧЕНЫ в решение).
- Если неравенство содержит $<$ или $>$, проводится штриховая линия (точки на прямой НЕ ВКЛЮЧЕНЫ в решение).
2. Закрашивание областей
- Каждое неравенство делит координатную плоскость на две полуплоскости.
- Используйте контрольную точку (часто $(0,0)$, если она не лежит на прямой), чтобы определить, какую сторону закрашивать.
- Если контрольная точка удовлетворяет неравенству, закрасьте сторону, содержащую эту точку.
3. Область решений (допустимая область)
- Решение системы — это область пересечения, где ВСЕ закрашенные области накладываются друг на друга.
- Каждая точка этой области удовлетворяет всем неравенствам одновременно.
4. Угловые точки (вершины)
- Точки пересечения граничных прямых называются вершинами или угловыми точками.
- Их находят, решая соответствующие уравнения как систему уравнений.