Возрастающие и убывающие последовательности
Что такое последовательность?
Последовательность — это упорядоченный набор чисел, которые следуют определённому закону или правилу. Каждое число в последовательности называется членом. Члены обозначаются как $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, где $a_n$ представляет $n$-й член.
📈 Возрастающие последовательности
Определение: Последовательность $\{a_n\}$ является возрастающей, если каждый член больше предыдущего:
$$a_{n+1} > a_n \quad \text{для всех } n \geq 1$$
Эквивалентно, разность между последовательными членами всегда положительна:
$$a_{n+1} - a_n > 0$$
Примеры:
- $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ (каждый член увеличивается на 3)
- $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ (каждый член удваивается)
- $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ (полные квадраты: $n^2$)
Строго и нестрого возрастающие:
Если $a_{n+1} \geq a_n$ (допускаются равные члены), последовательность называется неубывающей или нестрого возрастающей. Когда $a_{n+1} > a_n$ строго, она строго возрастающая.
Если $a_{n+1} \geq a_n$ (допускаются равные члены), последовательность называется неубывающей или нестрого возрастающей. Когда $a_{n+1} > a_n$ строго, она строго возрастающая.
📉 Убывающие последовательности
Определение: Последовательность $\{a_n\}$ является убывающей, если каждый член меньше предыдущего:
$$a_{n+1} < a_n \quad \text{для всех } n \geq 1$$
Эквивалентно, разность между последовательными членами всегда отрицательна:
$$a_{n+1} - a_n < 0$$
Примеры:
- $20, 17, 14, 11, 8, \ldots$ (каждый член уменьшается на 3)
- $100, 50, 25, 12.5, \ldots$ (каждый член уменьшается вдвое)
- $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ (последовательность $\frac{1}{n}$)
Строго и нестрого убывающие:
Если $a_{n+1} \leq a_n$ (допускаются равные члены), последовательность называется невозрастающей или нестрого убывающей. Когда $a_{n+1} < a_n$ строго, она строго убывающая.
Если $a_{n+1} \leq a_n$ (допускаются равные члены), последовательность называется невозрастающей или нестрого убывающей. Когда $a_{n+1} < a_n$ строго, она строго убывающая.