Арифметическая прогрессия: формула n-го члена
1. Определение арифметической прогрессии (АП)
Определение: Арифметическая прогрессия (АП) — это последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, получается прибавлением одного и того же постоянного числа к предыдущему члену. Эта постоянная называется разностью прогрессии и обозначается буквой d.
Формально последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots$ является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда:
$$d = a_{n+1} - a_n \quad \text{для любого } n \geq 1$$
Другими словами, разность между любыми двумя соседними членами всегда одинакова и равна $d$.
✅ Пример АП:
$3, 7, 11, 15, 19, \ldots$
Здесь $d = 7 - 3 = 4$, и разность между каждыми двумя соседними членами равна $4$.
❌ Не является АП:
$1, 4, 9, 16, 25, \ldots$
Разности: $3, 5, 7, 9, \ldots$ — они не постоянны!
2. Виды арифметических прогрессий
| Условие | Вид | Пример | Поведение |
|---|---|---|---|
| $d > 0$ | Возрастающая АП | $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ ($d = 3$) | Каждый член больше предыдущего |
| $d < 0$ | Убывающая АП | $20, 17, 14, 11, 8, \ldots$ ($d = -3$) | Каждый член меньше предыдущего |
| $d = 0$ | Постоянная АП | $5, 5, 5, 5, 5, \ldots$ ($d = 0$) | Все члены равны $a_1$ |