Сумма первых n членов арифметической прогрессии
1. Ключевое свойство арифметической прогрессии
Почему это работает? В АП с первым членом $a_1$ и разностью $d$:
$$a_p + a_m = (a_1 + (p-1)d) + (a_1 + (m-1)d) = 2a_1 + (p + m - 2)d$$
$$a_k + a_l = (a_1 + (k-1)d) + (a_1 + (l-1)d) = 2a_1 + (k + l - 2)d$$
Так как $p + m = k + l$, оба выражения одинаковы. ✓
Это объясняется тем, что если один член находится на $k$ позиций от начала, а другой — на $k$ позиций от конца, то сумма их номеров равна $1 + n$.
2. Вывод формулы суммы (метод Гаусса)
Пусть $S_n$ обозначает сумму первых $n$ членов АП:
Шаг 1: Запишем $S_n$ в порядке возрастания:
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} + a_n$
Шаг 2: Запишем $S_n$ ещё раз в обратном порядке:
$S_n = a_n + a_{n-1} + a_{n-2} + \cdots + a_2 + a_1$
Шаг 3: Сложим обе строки почленно:
$2S_n = (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + (a_3 + a_{n-2}) + \cdots + (a_n + a_1)$
Шаг 4: По свойству равноудалённых членов каждая пара даёт $(a_1 + a_n)$, а таких пар $n$:
$2S_n = n \cdot (a_1 + a_n)$
Шаг 5: Разделим обе части на 2:
Иногда это описывают так: сумма равна среднему арифметическому первого и последнего членов, умноженному на количество членов.