Степень с рациональным показателем
1. Мотивация: зачем нужны рациональные показатели?
Вы уже умеете работать с целыми показателями степени: $a^2$, $a^{-3}$, $a^0 = 1$ и т. д. Но что означает $a^{1/2}$ или $a^{2/3}$?
Ключевая идея: Вводя дробные (рациональные) показатели, мы требуем, чтобы все свойства целых показателей по-прежнему выполнялись. В частности, должно работать правило возведения степени в степень:
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$
Посмотрим, к чему это приводит. Допустим, мы хотим, чтобы $(a^{1/2})^2 = a^{(1/2) \cdot 2} = a^1 = a$. Это означает, что $a^{1/2}$ должно быть числом, квадрат которого равен $a$. А это и есть $\sqrt{a}$!
Аналогично, $(a^{1/n})^n = a^1 = a$, значит $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$.
⚠️ Важное ограничение: Основание степени должно быть положительным ($a > 0$), чтобы рациональный показатель был корректно определён. Скоро мы увидим, почему.
2. Определение $a^{m/n}$
Определение
Для $a > 0$ и рационального числа $r = \dfrac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число:
$$\boxed{a^r = a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}}$$Кроме того, если $m$ и $n$ — натуральные числа, то $0^{m/n} = 0$.
Примеры:
| Выражение | Преобразование | Значение |
|---|---|---|
| $5^{2/5}$ | $\sqrt[5]{5^2} = \sqrt[5]{25}$ | $\sqrt[5]{25} \approx 1{,}904$ |
| $2^{0.5} = 2^{1/2}$ | $\sqrt{2}$ | $\approx 1{,}414$ |
| $10^{-1} = 10^{-1/1}$ | $\sqrt[1]{10^{-1}} = \dfrac{1}{10}$ | $0{,}1$ |
| $8^{2/3}$ | $\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64}$ | $4$ |
| $27^{-1/3}$ | $\dfrac{1}{\sqrt[3]{27}} = \dfrac{1}{3}$ | $\approx 0{,}333$ |