Определение основных тригонометрических функций
1. Построение: точка на окружности
Начнём с построения геометрической картинки, которая станет основой для всех тригонометрических определений.
- Поместим точку O в начало координатной плоскости.
- Проведём начальный радиус OA вдоль положительного направления оси $x$.
- Повернём OA на угол $\alpha$ (против часовой стрелки для положительных углов) и получим конечный радиус OB.
- Точка B лежит на окружности радиуса $R$ с центром в точке O, поэтому $B$ имеет координаты $(x;\, y)$.
2. Ключевая идея — отношения не зависят от R
Почему мы можем определять тригонометрические функции, используя любую окружность, а не только единичную? Потому что отношения $\dfrac{y}{R}$ и $\dfrac{x}{R}$ остаются одинаковыми, каким бы большим или маленьким ни был $R$.
Доказательство через подобные треугольники
Возьмём две окружности с радиусами $R_1$ и $R_2$ с центром в точке O. Для одного и того же угла $\alpha$ конечный радиус пересекает первую окружность в точке $B_1(x_1;\, y_1)$, а вторую — в точке $B_2(x_2;\, y_2)$.
Опустим перпендикуляры из $B_1$ и $B_2$ на ось $x$, образуя прямоугольные треугольники $\triangle OB_1C_1$ и $\triangle OB_2C_2$.
Эти треугольники имеют общий угол $\alpha$ при вершине O и оба имеют прямой угол при C, поэтому они подобны (по признаку двух углов). Следовательно:
$$ \frac{y_1}{R_1} = \frac{y_2}{R_2} \qquad \text{и} \qquad \frac{x_1}{R_1} = \frac{x_2}{R_2} $$Вывод: Отношения зависят только от угла $\alpha$, а не от радиуса $R$. Именно это делает тригонометрические функции корректно определёнными.
Перемещай ползунок, чтобы изменять угол, и наблюдай, как два подобных треугольника меняются, а отношения остаются равными.