Тригонометрические тождества: период, симметрия и знак
Как тригонометрические функции ведут себя при сдвигах и отражениях
1. Тождества периодичности
Когда мы поворачиваем радиус на угол $\alpha$ на единичной окружности, мы попадаем в точку $B(x_0, y_0)$. Если мы повернём на $\alpha + 2\pi n$ (где $n$ — любое целое число), мы совершим $n$ полных оборотов и окажемся в той же самой точке $B$.
Поскольку координаты совпадают, значения тригонометрических функций тоже совпадают:
$$\sin(\alpha + 2\pi n) = \sin \alpha$$
$$\cos(\alpha + 2\pi n) = \cos \alpha$$
$$\mathrm{tg}(\alpha + 2\pi n) = \mathrm{tg}\,\alpha$$
$$\mathrm{ctg}(\alpha + 2\pi n) = \mathrm{ctg}\,\alpha$$
Важный факт: Период синуса и косинуса равен $2\pi$ (или $360°$). Это наименьшее положительное число $T$ такое, что $f(\alpha + T) = f(\alpha)$ для всех $\alpha$.