Графики и основные свойства синуса и косинуса
1. Построение графика $y = \sin x$
Шаг 1: Вычислим значения в ключевых точках на $[-\pi, \pi]$
Начнём с вычисления $\sin x$ в ключевых углах на отрезке $[-\pi, \pi]$:
| $x$ | $-\pi$ | $-\frac{3\pi}{4}$ | $-\frac{\pi}{2}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $0$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{3\pi}{4}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}71$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}71$ | $0$ | $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ | $1$ | $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71$ | $0$ |
Шаг 2: Отметим точки и соединим плавной кривой
Отметим каждую пару $(x, \sin x)$ на координатной плоскости и соединим их плавной волнообразной кривой — без острых углов!
Шаг 3: Продолжим кривую, используя периодичность
Поскольку $\sin x$ повторяется каждые $2\pi$, мы сдвигаем построенную на $[-\pi, \pi]$ кривую на $\pm 2\pi$, $\pm 4\pi$, $\pm 6\pi$ и так далее в обе стороны. Так получается полная синусоида, бесконечно продолжающаяся влево и вправо.
Важный факт: График функции $y = \sin x$ называется синусоидой. Это плавная непрерывная волна, которая целиком располагается в горизонтальной полосе между $y = -1$ и $y = 1$.
Интерактивный график $y = \sin x$
Интерактивная визуализация — доступна в полном уроке
2. Свойства функции $y = \sin x$
- Область определения: $(-\infty, +\infty)$ — все действительные числа
-
Нули функции: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
т.е. $\ldots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots$ -
Положительна: на интервалах $(2\pi n,\; \pi + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$
Отрицательна: на интервалах $(\pi + 2\pi n,\; 2\pi + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$ -
Симметрия: Нечётная функция
$\sin(-x) = -\sin x$ — график симметричен относительно начала координат
-
Возрастает: на $\left[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n,\; \frac{\pi}{2} + 2\pi n\right]$, $n \in \mathbb{Z}$
Убывает: на $\left[\frac{\pi}{2} + 2\pi n,\; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\right]$, $n \in \mathbb{Z}$ -
Период: $T = 2\pi$ (наименьший положительный период)
$\sin(x + 2\pi) = \sin x$ для всех $x$ - Область значений: $[-1, 1]$ — функция ограничена
-
Максимум: $\sin x = 1$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
Минимум: $\sin x = -1$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ - Необратима: Любая горизонтальная прямая $y = c$, где $-1 \le c \le 1$, пересекает график бесконечно много раз