Числовые характеристики распределений вероятностей
Главная идея: Вместо того чтобы описывать всё распределение вероятностей целиком, мы можем охарактеризовать его с помощью нескольких ключевых чисел — его числовых характеристик. Эти числа рассказывают нам о «центре», «разбросе» и «форме» распределения.
1. Математическое ожидание
Определение
Математическое ожидание (или ожидаемое значение) дискретной случайной величины $X$ — это средневзвешенное всех возможных значений, где каждое значение взвешено с его вероятностью:
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X = x_i) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n $$
где $x_1, x_2, \ldots, x_n$ — возможные значения, а $p_1, p_2, \ldots, p_n$ — соответствующие им вероятности.
Наглядное представление: Представьте $E(X)$ как «точку равновесия» распределения — если расположить грузики массой $p_i$ в точках $x_i$ на числовой прямой, то $E(X)$ — это та точка, в которой прямая будет находиться в идеальном равновесии.
Свойства математического ожидания
- $E(c) = c$, где $c$ — константа
- $E(cX) = c \cdot E(X)$ — константу можно вынести за знак ожидания
- $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ — математическое ожидание линейно
- $E(X + c) = E(X) + c$ — сдвиг значений сдвигает среднее