Үч бурчтуктун медианалары, биссектрисалары жана бийиктиктери
7-класс Геометрия — Үч атайын кесинди жана алардын укмуштуудай касиеттери
Киришүү
Ар бир үч бурчтук, формасы же өлчөмү кандай болбосун, үч атайын кесинди түрүн камтыйт:
3 Медиана
Чокудан → Карама-каршы тараптын ортосуна
3 Биссектриса
Ар бир чокудагы бурчту экиге бөлөт
3 Бийиктик
Чокудан → Карама-каршы тарапка перпендикуляр
Ар бир түр чокуну карама-каршы тарап менен белгилүү бир жол менен байланыштырат. Бул кесиндилер үч бурчтуктардын терең касиеттерин ачып берет: алардын кесилишүү чекиттери маанилүү үч бурчтуктун борборлору болуп, курулуштарда, далилдөөлөрдө жана реалдуу колдонмолордо пайдаланылат. Алар жогорку геометриянын негизин түзөт.
1-бөлүк: Үч бурчтуктун медианалары
Аныктама: Медиана
Медиана — бул үч бурчтуктун чокусун карама-каршы тараптын орто чекити менен байланыштырган кесинди. Ар бир үч бурчтукта так үч медиана бар.
$A$ чокусунан $\overline{BC}$ тарабынын $M$ орто чекитине чейинки медиана $\overline{AM}$ же $m_a$ деп белгиленет.
Медианалардын негизги касиеттери
- Карама-каршы тарапты эки бирдей бөлүккө бөлөт (бул орто чекит!).
- Чокудагы бурчту сөзсүз бөлбөйт.
- Бардык үч медиана үч бурчтуктун толугу менен ичинде жатат.
- Медиана үч бурчтукту аянты бирдей эки кичине үч бурчтукка бөлөт (негизи бирдей, бийиктиги бирдей).
Центроид (G)
Центроид: Бардык үч медиана кесилишкен чекит. G деп белгиленет.
✅ Бардык үч медиана ар дайым бир чекитте кесилишет — бул укмуштуудай теорема!
✅ Центроид ар дайым үч бурчтуктун ичинде жатат (курч, тик же доңуз бурчтуу).
✅ Центроид — үч бурчтуктун массанын борбору (тең салмактуулук чекити).
⭐ 2:1 эрежеси
Центроид ар бир медиананы чокудан $\mathbf{2:1}$ катышында бөлөт:
$$\frac{AG}{GM} = \frac{2}{1}$$
Центроид чокудан карама-каршы тараптын орто чекитине караганда эки эсе алыс жайгашкан.
📐 Центроиддин координаталары
Эгерде чокулар $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$ болсо, анда:
$$G = \left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3},\; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right)$$
Центроид — бардык үч чокунун координаталарынын орточо мааниси!
📏 Медиананын узундугунун формуласы
$A$ чокусунан $\overline{BC}$ тарабына (узундугу $a$) чейинки медиананын узундугу:
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$
Интерактивдүү: Медианалар жана Центроид
A, B, C чокуларын сүйрөп, медианалар менен центроиддин кантип өзгөрөрүн көрүңүз. Байкаңыз: G ар дайым ичинде калат!