Бином Ньютона
Полное руководство: от простых разложений до обобщённого ряда Ньютона
1. Формулировка и обозначения
Главная идея
Как разложить $(a+b)^n$, не перемножая скобки $n$ раз? Бином Ньютона даёт ответ в виде замкнутой формулы в одну строку.
Здесь биномиальный коэффициент определяется как
$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}, \qquad 0\le k\le n.$$Он показывает количество способов выбрать $k$ объектов из $n$ объектов (порядок не важен, без повторений). Распространённые альтернативные обозначения: $C(n,k)$, ${}^{n}C_{k}$, $C_{k}^{n}$ и $\displaystyle\binom{n}{k}$ (читается «из $n$ по $k$»).
Запишем первые несколько степеней в явном виде:
| $n$ | Разложение $(a+b)^n$ | Слагаемых |
|---|---|---|
| 0 | $1$ | 1 |
| 1 | $a+b$ | 2 |
| 2 | $a^2+2ab+b^2$ | 3 |
| 3 | $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ | 4 |
| 4 | $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$ | 5 |
2. Треугольник Паскаля
Построение
Треугольник Паскаля строится строка за строкой. Каждая строка начинается и заканчивается единицей, а каждый внутренний элемент равен сумме двух элементов, расположенных над ним по диагонали. Это правило и есть рекуррентное соотношение Паскаля:
$$\boxed{\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}}, \qquad 1\le k\le n-1.$$с граничными условиями $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$.
Как читать треугольник
- Строка $n$ содержит коэффициенты разложения $(a+b)^n$.
- Элемент $k$ в строке $n$ равен $\binom{n}{k}$.
- Пример: строка 4 — это $1,4,6,4,1$ — именно коэффициенты в $a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.
Историческая справка
Треугольник был известен за много веков до Паскаля — он был открыт в Индии (Пингала, ≈200 г. до н. э.) и Китае (Цзя Сянь, ≈1050 г. н. э.). Паскаль систематически изучил его свойства в 1654 году.