1. Определение и обозначения
Что такое геометрическая прогрессия?
Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на постоянное, отличное от нуля число, называемое знаменателем прогрессии и обозначаемое $q$ (иногда $r$).
Формальное определение: Последовательность $(b_1, b_2, b_3, \ldots)$ является геометрической прогрессией, если существует постоянная $q \neq 0$ такая, что
$$b_{n+1} = b_n \cdot q \quad \text{for all } n \geq 1, \quad b_1 \neq 0.$$
Последовательность обычно записывается так:
$$b_1,\; b_1 q,\; b_1 q^2,\; b_1 q^3,\; \ldots$$Рекуррентное и явное определение
Рекуррентное определение:
Определяет каждый член через предыдущий: $$b_1 = a, \quad b_{n+1} = b_n \cdot q$$
Определяет каждый член через предыдущий: $$b_1 = a, \quad b_{n+1} = b_n \cdot q$$
Явное определение (формула общего члена):
Определяет каждый член непосредственно по его номеру $n$: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$
Определяет каждый член непосредственно по его номеру $n$: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$
Поведение прогрессии в зависимости от знаменателя $q$
| Значение $q$ | Поведение | Пример ($b_1 = 2$) |
|---|---|---|
| $q > 1$ | Члены неограниченно возрастают (экспоненциальный рост) | $2, 6, 18, 54, \ldots$ ($q=3$) |
| $q = 1$ | Все члены равны (постоянная последовательность) | $2, 2, 2, 2, \ldots$ |
| $0 < q < 1$ | Члены убывают, стремясь к нулю | $2, 1, 0.5, 0.25, \ldots$ ($q=0.5$) |
| $-1 < q < 0$ | Члены чередуют знак и убывают по модулю к нулю | $2, -1, 0.5, -0.25, \ldots$ ($q=-0.5$) |
| $q < -1$ | Члены чередуют знак и возрастают по модулю | $2, -4, 8, -16, \ldots$ ($q=-2$) |