Формулы суммы в произведение и произведения в сумму
Превращаем суммы в произведения и произведения в суммы — мост между сложением и разложением на множители в тригонометрии
Главная идея
Вы уже знаете формулы сложения углов. Здесь не вводится ничего нового. Каждая формула в этом уроке выводится путём сложения или вычитания двух уже известных вам тождеств сложения. Результат огромен: вы получаете возможность раскладывать на множители тригонометрические суммы (что необходимо для решения уравнений) и линеаризовать тригонометрические произведения (что необходимо для интегрирования и упрощения).
1. Формулы произведения в сумму
Эти формулы позволяют записать произведение двух тригонометрических функций в виде суммы или разности. Их четыре:
- $\sin A \cos B = \dfrac{1}{2}\bigl[\sin(A+B) + \sin(A-B)\bigr]$
- $\cos A \sin B = \dfrac{1}{2}\bigl[\sin(A+B) - \sin(A-B)\bigr]$
- $\cos A \cos B = \dfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B) + \cos(A+B)\bigr]$
- $\sin A \sin B = \dfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B) - \cos(A+B)\bigr]$
Вывод (sin A cos B)
Начнём с двух уже известных формул сложения:
Сложим уравнения (i) и (ii):
$$\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2\sin A\cos B$$Разделим обе части на 2:
$$\boxed{\sin A\cos B = \tfrac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]}$$Вывод (sin A sin B)
Начнём с формул сложения для косинуса:
Вычтем (iv) из (iii):