1. Схема Бернулли: определение и три гипотезы
Основная идея: Схема Бернулли (или последовательность испытаний Бернулли) — это конечная последовательность экспериментов, удовлетворяющая трём строгим условиям. Когда все три выполняются, мы получаем доступ к мощной биномиальной формуле вероятности.
Три гипотезы
Г1: Два исхода
Каждое испытание имеет ровно два исхода, которые называют успех (У) и неудача (Н). Они взаимно исключают друг друга и исчерпывают все возможности.
Пример: Подбрасывание монеты — орёл или решка. Произведённая деталь — бракованная или годная.
Г2: Постоянная вероятность
Вероятность успеха $p$ одинакова в каждом испытании. Вероятность неудачи обозначается:
$$q = 1 - p$$
Это обозначение сохраняется на протяжении всей темы.
Г3: Независимость
Результат любого испытания не влияет на результат любого другого испытания. Знание того, что произошло в испытании 1, ничего не говорит об испытании 2.
Что нарушает каждую гипотезу?
| Гипотеза | Сценарий нарушения | Почему нарушается |
|---|---|---|
| Г2 — Постоянная $p$ | Ученик тренирует штрафные броски и со временем улучшает результат (эффект обучения) | Вероятность успеха меняется от испытания к испытанию, поэтому $p$ не является постоянной. |
| Г3 — Независимость | Извлечение карт из колоды без возвращения | Извлечение карты изменяет состав колоды, поэтому вероятность при следующем извлечении зависит от того, что было извлечено ранее. |
| Г2 — Постоянная $p$ | Выход годной продукции на производстве меняется в зависимости от смены из-за погоды или усталости | Изменения условий приводят к «дрейфу» $p$, нарушая постоянство. |
| Г3 — Независимость | Тестирование на заразное заболевание в семье | Заражение одного человека повышает вероятность заражения других — исходы коррелированы. |
Входной навык — распознавание схемы Бернулли: Прежде чем применять формулу, всегда проверяйте все три гипотезы по условию задачи. Если хотя бы одна не выполняется, биномиальная формула неприменима. Этот шаг проверки — обязательный для каждой задачи данной темы.