Интегрирование рациональных функций методом разложения на простейшие дроби
Главная идея
Любую рациональную функцию — то есть любую дробь $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, где числитель и знаменатель — многочлены, — можно проинтегрировать в элементарных функциях (логарифмы, арктангенсы и рациональные выражения). Это единственный большой класс функций, где интегрирование — это алгоритм, а не искусство. Никаких догадок, никаких хитростей — просто следуй шагам.
1. Дорожная карта алгоритма
Весь метод состоит из четырёх этапов, выполняемых по порядку:
Проверка правильности дроби
Если $\deg P \ge \deg Q$, выполни деление многочленов, чтобы записать $\frac{P}{Q} = A(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$, где $\deg R < \deg Q$.
Разложение знаменателя на множители
Разложи $Q(x)$ на линейные множители $(ax+b)$ и неприводимые квадратичные множители $(ax^2+bx+c)$, каждый из которых может повторяться.
Составление шаблона разложения
Запиши сумму простейших дробей, определяемую типами множителей (константы над линейными, линейные числители над квадратичными).
Нахождение коэффициентов и интегрирование
Найди неизвестные константы, затем проинтегрируй каждую простейшую дробь с помощью логарифмов, степенных правил или арктангенса.