Дифференциальное уравнение Бернулли
Классическое нелинейное уравнение, укрощённое одной подстановкой
1. Что такое уравнение Бернулли?
Стандартная форма
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением Бернулли, если его можно записать в виде:
где $P(x)$ и $Q(x)$ — непрерывные функции, а $n$ — действительное число. Уравнение названо в честь Якоба Бернулли, который впервые рассмотрел его в 1695 году, хотя метод решения, который мы используем сегодня, был опубликован Готфридом Лейбницем в том же году.
Обратите внимание на структуру: левая часть выглядит точно как линейное ОДУ первого порядка, но правая часть содержит степень $y^n$, которая нарушает линейность. Именно этот степенной член делает уравнение нелинейным — и одновременно позволяет решить его с помощью хитрого приёма.
Особые значения показателя — решаем сразу
| Показатель $n$ | Что происходит | Метод |
|---|---|---|
| $n = 0$ | $y^0 = 1$, поэтому уравнение принимает вид $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ — стандартное линейное ОДУ первого порядка. | Интегрирующий множитель (уже изучено). |
| $n = 1$ | $y^1 = y$, поэтому уравнение принимает вид $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y$, т.е. $\frac{dy}{dx} = [Q(x) - P(x)]y$ — уравнение с разделяющимися переменными. | Разделить переменные и проинтегрировать. |
| $n \neq 0, 1$ | Уравнение действительно нелинейное. Это новая территория. | Подстановка Бернулли (тема этого урока). |
Галерея распознавания — как заметить замаскированные уравнения Бернулли
Уравнения Бернулли не всегда приходят в стандартной форме. Возможно, сначала потребуется разделить или перегруппировать члены.
| Исходная форма | Деление / Перегруппировка | Стандартная форма | $n$ |
|---|---|---|---|
| $x\frac{dy}{dx} + y = y^2 x^2 \ln x$ | Разделить на $x$ | $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = (x\ln x)\,y^2$ | $2$ |
| $2\frac{dy}{dx} + (\tan x)\,y = \frac{(4x+5)^2}{\cos x}\,y^3$ | Разделить на $2$ | $\frac{dy}{dx} + \frac{\tan x}{2}\,y = \frac{(4x+5)^2}{2\cos x}\,y^3$ | $3$ |
| $y' + \frac{y}{x} - \sqrt{y} = 0$ | Перенести $\sqrt{y}$ вправо | $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = y^{1/2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $y' - y = e^{2x}y^3$ | Уже в нужной форме | $\frac{dy}{dx} - y = e^{2x}\,y^3$ | $3$ |
| $y' + 3y = xy^{-2}$ | Уже в нужной форме | $\frac{dy}{dx} + 3y = x\,y^{-2}$ | $-2$ |
Ключевой навык: Определяйте $n$ только после того, как уравнение приведено к стандартной форме $y' + P(x)y = Q(x)y^n$.