Повторение и переосмысление последовательностей
Что такое последовательность на самом деле?
Последовательность — это функция из множества натуральных чисел в множество действительных чисел:
$a : \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \qquad n \mapsto a_n.$
Мы записываем последовательность как $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ или просто $(a_n)$. Каждое натуральное число $n$ — это индекс, а $a_n$ — $n$-й член.
Способы задания последовательности
| Способ | Пример |
|---|---|
| Явная формула | $a_n = \dfrac{1}{n}$ |
| Рекуррентное соотношение | $a_1 = 1,\; a_{n+1} = \sqrt{1 + a_n}$ |
| Словесное / кусочное задание | «$a_n$ — это $n$-е простое число» |
Ключевые понятия
- Монотонно возрастающая: $a_{n+1} \ge a_n$ для всех $n$.
- Монотонно убывающая: $a_{n+1} \le a_n$ для всех $n$.
- Ограничена сверху: $\exists\, M$ такое, что $a_n \le M$ для всех $n$.
- Ограничена снизу: $\exists\, m$ такое, что $a_n \ge m$ для всех $n$.
- Ограничена: ограничена сверху и снизу, т.е. $|a_n| \le K$ для некоторого $K$.
Знакомые примеры в новом свете
Арифметическая прогрессия: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Если $d \neq 0$, члены уходят к $\pm\infty$; последовательность неограничена.
Геометрическая прогрессия: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
- $|r| < 1$: члены убывают к $0$.
- $r = 1$: постоянная последовательность.
- $|r| > 1$: члены неограниченно растут.
- $r = -1$: колеблется между $\pm a_1$.
Эти примеры уже подводят нас к главному вопросу: что происходит с $a_n$ при $n \to \infty$?
Интуитивное представление о сходимости
Прежде чем давать формальное определение, давайте выработаем интуицию. Последовательность сходится к числу $L$, если её члены приближаются и остаются сколь угодно близко к $L$. «Приближаются» означает, что члены стремятся к $L$; «остаются» означает, что они больше не удаляются.