1. Ворота расширяются: от прямоугольников к областям, ограниченным кривыми
Вспомните, что область определения в анализе функций нескольких переменных — это сама по себе область на плоскости. Навык, который вы приобрели при описании областей определения (например, «все $(x,y)$ при $x^2+y^2 \le 4$»), — это именно тот навык, который нужен здесь. Каждый двойной интеграл по общей области начинается с чтения области.
Два канонических типа областей
Область является вертикально простой (Тип I), если каждая вертикальная прямая, пересекающая область, входит через нижнюю кривую и выходит через верхнюю кривую:
$$R = \{(x,y) \mid a \le x \le b,\; g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$$Представьте: вы двигаете $x$ слева направо (от константы $a$ до константы $b$), и для каждого $x$ переменная $y$ пробегает от нижней границы $g_1(x)$ до верхней границы $g_2(x)$.
Область является горизонтально простой (Тип II), если каждая горизонтальная прямая, пересекающая область, входит через левую кривую и выходит через правую кривую:
$$R = \{(x,y) \mid c \le y \le d,\; h_1(y) \le x \le h_2(y)\}$$Представьте: вы двигаете $y$ снизу вверх (от константы $c$ до константы $d$), и для каждого $y$ переменная $x$ пробегает от левой границы $h_1(y)$ до правой границы $h_2(y)$.
Интерактивная визуализация: Тип I и Тип II
Тип I (Вертикально простая)
Тип II (Горизонтально простая)