1. Теорема о структуре: Общее решение = Семейство однородных решений + Одно частное решение
Мы изучаем линейное неоднородное ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами:
$$a\,y'' + b\,y' + c\,y = f(x) \qquad (a \neq 0)$$где $a, b, c$ — вещественные константы, а $f(x) \neq 0$ — вынуждающая функция (также называемая правой частью или неоднородным членом).
Теорема о структуре (Общее решение)
Общее решение уравнения $\;a\,y'' + b\,y' + c\,y = f(x)\;$ имеет вид:
$$\boxed{y = y_h + y_p}$$где
- $y_h = c_1 y_1 + c_2 y_2$ — общее решение соответствующего однородного уравнения $a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0$, а
- $y_p$ — любое одно частное решение неоднородного уравнения.
Почему это работает? — Дар линейности
Предположим, что $y_A$ и $y_B$ — оба решения неоднородного уравнения. Определим $w = y_A - y_B$. Тогда:
$$a\,w'' + b\,w' + c\,w = a\,y_A'' + b\,y_A' + c\,y_A - \bigl(a\,y_B'' + b\,y_B' + c\,y_B\bigr) = f(x) - f(x) = 0$$Значит, $w = y_A - y_B$ удовлетворяет однородному уравнению. Другими словами, разность любых двух решений неоднородного уравнения является решением однородного уравнения. Это означает, что каждое решение неоднородного уравнения имеет вид $y_h + y_p$ при некотором выборе констант $c_1, c_2$.
Вспомните линейные уравнения первого порядка $y' + p(x)y = q(x)$: общее решение имело вид $y = y_h + y_p$, где $y_h = Ce^{-\int p\,dx}$, а $y_p$ находилось с помощью интегрирующего множителя. Тот же структурный принцип теперь переносится на второй порядок — это несущий принцип всей темы.
Разделение задачи
Найти $y_h$: решить $a\,y'' + b\,y' + c\,y = 0$ с помощью характеристического уравнения $ar^2 + br + c = 0$. Это было темой предыдущего раздела (различные вещественные корни, кратные корни, комплексные корни).
Найти одно частное решение $y_p$ уравнения $a\,y'' + b\,y' + c\,y = f(x)$. Два метода: Метод неопределённых коэффициентов и Метод вариации постоянных.