Исследование функций с помощью производных: монотонность и экстремумы
От теоремы Ферма до прикладной оптимизации — полное изложение
Основные теоремы
Три классических результата образуют логическую цепочку, связывающую локальное поведение производной с глобальным поведением функции. Каждая теорема опирается на предыдущую.
1.1 Теорема Ферма (теорема о внутреннем экстремуме)
Формулировка. Пусть $f$ определена на открытом интервале, содержащем точку $c$. Если $f$ имеет локальный экстремум в точке $c$ и $f$ дифференцируема в точке $c$, то
$$f'(c) = 0.$$
Доказательство
Предположим, что $f$ имеет локальный максимум в точке $c$. Тогда существует $\delta > 0$ такое, что $f(c) \ge f(x)$ для всех $x$, удовлетворяющих $|x - c| < \delta$. Рассмотрим разностное отношение:
- При $h > 0$: $\;\displaystyle\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0$ (числитель $\le 0$, знаменатель $> 0$).
- При $h < 0$: $\;\displaystyle\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \ge 0$ (числитель $\le 0$, знаменатель $< 0$).
Переходя к пределу при $h \to 0$:
$$f'(c) = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \le 0 \quad\text{и}\quad f'(c) = \lim_{h\to 0^-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \ge 0.$$Оба неравенства вынуждают $f'(c) = 0$. Доказательство для локального минимума аналогично (неравенства меняются на противоположные). $\square$
Геометрический смысл
В точке локального экстремума гладкой кривой касательная линия является горизонтальной. Угловой коэффициент касательной равен нулю.
⚠ Обратное утверждение НЕВЕРНО. $f'(c)=0$ не гарантирует наличие экстремума. Классический контрпример — $f(x)=x^3$ в точке $x=0$: имеем $f'(0)=0$, однако $f$ строго возрастает при прохождении через $0$.