Частные производные: определение и вычисление
Одна переменная свободна, остальные заморожены — обычная производная возрождается в многомерном пространстве
1. Определение — выполненное обещание
Основная идея
В курсе анализа функций одной переменной вы изучали производную как предел разностного отношения:
$$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$Теперь предположим, что функция зависит от двух (или более) переменных: $z = f(x,y)$. Мы хотим спросить: как быстро изменяется $f$, если мы слегка сдвинем только $x$, оставив $y$ неизменным?
Вспомним: сравните эти выражения с разностным отношением для функции одной переменной — единственное отличие в том, что одна переменная остаётся на месте, пока другая сдвигается на $h$. Механизм предела абсолютно тот же.
Обозначения — две традиции
| Стиль | Частная по $x$ | Частная по $y$ | Как читать |
|---|---|---|---|
| Лейбниц (округлённая d) | $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ | $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ | «частная производная $f$ по $x$» |
| Индексная запись | $f_x$ | $f_y$ | «$f$ с индексом $x$» |
| В точке | $f_x(a,b)$ или $\left.\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|_{(a,b)}$ | $f_y(a,b)$ | «частная производная $f$ по $x$ в точке $(a,b)$» |
Символ $\partial$ (округлённая «d») — это не то же самое, что $d$; он сигнализирует о том, что остальные переменные считаются постоянными.
Значение в точке и функция частной производной
Так же как в анализе функций одной переменной мы различаем $f'(a)$ (число) и $f'(x)$ (функцию), мы различаем:
- $f_x(a,b)$ — конкретное число, наклон в определённой точке $(a,b)$.
- $f_x(x,y)$ — новая функция двух переменных, дающая наклон в каждой точке, где предел существует.