Что такое бесконечный ряд?
Главная идея: Бесконечный ряд — это не процесс последовательного сложения бесконечного числа слагаемых. Это предел последовательности частичных сумм. Сумма — это предел, и именно такое переосмысление снимает все парадоксы о «сложении бесконечного числа слагаемых».
Формальное определение
Дана последовательность $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$. Определим $N$-ю частичную сумму
$$ S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N = \sum_{n=1}^{N} a_n. $$Последовательность $\{S_1, S_2, S_3, \ldots\}$ — это обычная числовая последовательность, с которой мы уже умеем работать. Мы говорим, что ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится, если и только если последовательность $\{S_N\}$ сходится к конечному пределу $S$:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = S \;\;\Longleftrightarrow\;\; \lim_{N\to\infty} S_N = S. $$Если $\{S_N\}$ расходится (стремится к $\pm\infty$ или осциллирует), мы говорим, что ряд расходится.
Связь с последовательностями: Всё, что вы изучили о пределах последовательностей — теорема о зажатой последовательности, теорема о монотонной сходимости, арифметика пределов — теперь применяется напрямую, потому что сходимость ряда и есть сходимость последовательности $\{S_N\}$.
Первый пример: геометрический ряд
Рассмотрим $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ при $a \neq 0$. Частичная сумма имеет замкнутую формулу (вспомните формулу суммы геометрической прогрессии):
$$ S_N = a\,\frac{1 - r^{N+1}}{1 - r}, \qquad r \neq 1. $$Теперь перейдём к пределу:
- Если $|r| < 1$, то $r^{N+1} \to 0$, значит $S_N \to \dfrac{a}{1-r}$. Ряд сходится.