Квадратные уравнения
Полное изложение: от определения через все методы решения к приложениям, анализу параметров и уравнениям, сводящимся к квадратным.
1. Определение и стандартная форма
Общее квадратное уравнение
Квадратное уравнение с одной переменной $x$ — это любое уравнение, которое можно записать в стандартной форме:
Коэффициенты имеют названия, которыми вы должны свободно пользоваться:
- $a$ — старший (квадратичный) коэффициент. Он должен быть ненулевым; иначе член $x^2$ исчезает и уравнение вырождается в линейное $bx + c = 0$, которое вы уже умеете решать (отсылка к теме «Линейные уравнения»).
- $b$ — коэффициент при линейном члене.
- $c$ — свободный член.
Неполные квадратные уравнения
Когда один из коэффициентов (кроме старшего) равен нулю, уравнение называется неполным. Такие случаи имеют свои более быстрые способы решения — применять к ним общую формулу — это именно та ошибка беглости, которую нужно предотвратить с самого начала.
Уравнение принимает вид $ax^2 + c = 0$.
Метод — извлечение корня с учётом знака ±:
- Выразите $x^2$: $\;x^2 = -\dfrac{c}{a}$
- Если $-c/a \ge 0$, извлеките квадратный корень: $x = \pm\sqrt{-c/a}$
- Если $-c/a < 0$, действительных корней нет.
Разобранный пример: Решите $3x^2 - 48 = 0$.
$x^2 = \dfrac{48}{3} = 16 \;\Longrightarrow\; x = \pm 4.$
Уравнение принимает вид $ax^2 + bx = 0$.
Метод — вынесение переменной за скобку:
- $x(ax + b) = 0$
- Свойство произведения, равного нулю: $x = 0$ или $ax + b = 0$
- Значит, $x = 0$ или $x = -\dfrac{b}{a}$
Разобранный пример: Решите $5x^2 - 20x = 0$.
$x(5x - 20) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0$ или $x = 4.$