Непрерывность функции
Разбираемся, когда и почему функции ведут себя «гладко» — и что происходит, когда это не так
1. Определение непрерывности в точке
Три условия непрерывности
Функция $f$ непрерывна в точке $x = a$ тогда и только тогда, когда одновременно выполняются все три условия:
- $f(a)$ определено — точка $a$ принадлежит области определения функции $f$.
- $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ существует — функция стремится к единственному конечному значению при $x \to a$.
- $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ — значение предела равно значению функции.
Если хотя бы одно из этих условий нарушено, функция разрывна в точке $a$.
Форма через приращения (неформальная)
Непрерывность можно переформулировать интуитивно: малое изменение аргумента приводит к малому изменению значения функции. Если обозначить $\Delta x = x - a$ и $\Delta f = f(a + \Delta x) - f(a)$, то непрерывность в точке $a$ означает:
$$ \Delta x \to 0 \implies \Delta f \to 0 $$Определение на языке «эпсилон-дельта» (строгое)
Формальное определение, впервые сформулированное Больцано и позднее уточнённое Вейерштрассом, гласит:
Как это читать: Какую бы точность $\varepsilon$ по выходному значению вы ни потребовали, всегда можно найти такую точность $\delta$ по входному значению, которая это гарантирует.