Неопределённый интеграл и основные методы интегрирования
Главная идея: интегрирование — это дифференцирование, выполненное в обратную сторону. Зная скорость изменения функции, неопределённый интеграл возвращает нам всё семейство функций, которые могли бы её породить — по одной первообразной для каждого возможного начального значения.
- Научиться читать и раскладывать по смыслу обозначение интеграла как родной язык.
- Свободно пользоваться линейностью и базовой таблицей интегралов, почленно.
- Преобразовывать подынтегральное выражение алгебраически так, чтобы применялась табличная формула.
- Выполнять замену переменной как дисциплинированный, повторяемый ритуал — а не догадку.
- Узнавать шаблоны, сводящиеся к логарифму, арктангенсу и арксинусу.
- Мгновенно проверять любой ответ, дифференцируя его обратно.
Функция $F$ называется первообразной функции $f$ на промежутке, если $F'(x) = f(x)$ для каждого $x$ из этого промежутка. Если $F$ — одна из первообразных, то и $F(x)+C$ тоже первообразная при любой постоянной $C$, поскольку производная постоянной равна нулю. Доказывается (это не совпадение), что на связном промежутке это все первообразные — две функции с одинаковой производной отличаются лишь на постоянную. Неопределённым интегралом называют именно всё это семейство:
$$\int f(x)\,dx = F(x) + C, \qquad \text{где } F'(x) = f(x)$$
Каждый элемент этой записи имеет собственный смысл: